o harmonógrafo

por Marcelo S. Petraglia

O harmonógrafo é um “brinquedo científico” cuja invenção é atribuída ao “Professor Blackburn” em 1844. Trata-se de um conjunto integrado de pêndulos que acionam uma caneta, que registra no papel o movimento resultante do sistema. Dependendo da frequência, amplitude e fase em que os pêndulos se movem, uma infinidade de combinação de padrões aparecem no registro. A freqüência do pêndulo é controlada pelo comprimento da sua haste, ou melhor, pela distância ente seu eixo e o centro da massa do peso em sua extremidade. A amplitude veria de acordo com a altura em que o pêndulo é lançado e diminui gradativamente ao longo do tempo em função do atrito de seus componentes e da caneta sobre o papel. A fase entre os pêndulos é determinada pelo momento relativo em que cada um é lançado. Pêndulos com a mesma frequência, lançados exatamente no mesmo momento, estariam totalmente alinhados na sua fase. Atrasando o lançamento de um dos pêndulos podemos defasar o período em 1/4, 1/2, 3/4 ou qualquer outra medida, criando assim diferentes relações de interação entre os pêndulos. No caso do nosso harmonógrafo, temos dois pêndulos que trabalham perpendicularmente (90o) e mais um terceiro pêndulo livre, que pode oscilar em qualquer direção, inclusive girar. Conforme o que foi descrito acima, as possibilidades de interação entre estes três pêndulos, é praticamente infinita e grau de complexidade das figuras resultantes pode ser enorme.

Como ponto de partida, podemos observar o seguinte: Quando apenas um pêndulo é acionado, a figura resultante é bastante simples e previsível, se aproximando de uma reta (Fig. 1).

Quando dois pêndulos interagem, surge uma figura que se desenvolve no plano, expressando, de forma clara e harmoniosa, a relação de freqüências entre os pêndulos (Fig. 2).

Quando três pêndulos entram em ação, as figuras dão a ilusão de possuírem volume e se tornam altamente complexas e dinâmicas, praticamente imprevisíveis (Fig. 3).


Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

Pensando agora em termos de intervalos musicais, é bem interessante notar que as relações entre as freqüências de um dado intervalo (digamos uma 3a, onde a relação de freqüências entre o tom mais grave e o mais agudo, está na razão de 4:5), pode ser visualizada no harmonógrafo quando “afinamos” os pêndulos nesta mesma proporção. Podemos contar o número de alças de cada lado da figura e ver aí a sua relação de freqüências (Fig. 4).

Para aqueles que desejam conhecer mais sobre as surpreendentes figuras produzidas por um harmonógrafo, recomendo o livro “Harmonograph – a visual guide to the mathematics os music”de Anthony Ashton, Wooden Books. É interessante também conhecer um emulador de figuras elaborado por Andrew Purdam em http://members.pcug.org.au/~apurdam/harmonograph/harmonograph.html .

Faço apenas a advertência de que construir e brincar com um harmonógrafo é uma experiência fascinante, mas altamente consumidora de tempo! Pois sempre sucumbimos à tentação de fazer “só mais uma” figura….

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