por Marcelo S. Petraglia
O harmonógrafo é um “brinquedo científico” cuja invenção é atribuída ao “Professor Blackburn” em 1844. Trata-se de um conjunto integrado de pêndulos que acionam uma caneta, que registra no papel o movimento resultante do sistema. Dependendo da frequência, amplitude e fase em que os pêndulos se movem, uma infinidade de combinação de padrões aparecem no registro. A frequência do pêndulo é controlada pelo comprimento da sua haste, ou melhor, pela distância ente seu eixo e o centro da massa do peso em sua extremidade. A amplitude varia de acordo com a altura em que o pêndulo é lançado e diminui gradativamente ao longo do tempo em função do atrito, de seus componentes e da caneta sobre o papel. A fase entre os pêndulos é determinada pelo momento relativo em que cada um é lançado. Pêndulos com a mesma frequência, lançados exatamente no mesmo momento, estariam totalmente alinhados na sua fase. Atrasando o lançamento de um dos pêndulos podemos defasar o período em 1/4, 1/2, 3/4 ou qualquer outra medida, criando assim diferentes relações de interação entre os pêndulos. No caso do nosso harmonógrafo, temos dois pêndulos que trabalham perpendicularmente (90o) e mais um terceiro pêndulo livre, que pode oscilar em qualquer direção, inclusive girar. Conforme o que foi descrito acima, as possibilidades de interação entre estes três pêndulos, é praticamente infinita e grau de complexidade das figuras resultantes pode ser enorme.
Como ponto de partida, podemos observar o seguinte:
- quando apenas um pêndulo é acionado, a figura resultante é bastante simples e previsível, se aproximando de uma reta (Fig. 1).
- quando dois pêndulos interagem, surge uma figura que se desenvolve no plano, expressando, de forma clara e harmoniosa, a relação de frequências entre os pêndulos (Fig. 2).
- quando três pêndulos entram em ação, as figuras dão a ilusão de possuírem volume, se tornam altamente complexas e dinâmicas, praticamente imprevisíveis (Fig. 3).
![]() Figura 1 | ![]() Figura 2 |
![]() Figura 3 | ![]() Figura 4 |
Pensando agora em termos de intervalos musicais, é interessante notar que as relações entre as frequências de um dado intervalo, digamos uma 3a, onde a relação de frequências entre o tom mais grave e o mais agudo, está na razão de 4:5, pode ser visualizada no harmonógrafo quando “afinamos” os pêndulos nesta mesma relação. Pode-se contar o número de alças de cada lado da figura e ver aí a a relação de suas frequências (Fig. 4).
Para aqueles que desejam conhecer mais sobre as surpreendentes figuras produzidas por um harmonógrafo, recomendo o livro “Harmonograph – a visual guide to the mathematics of music” de Anthony Ashton, Wooden Books, 2003. É interessante também conhecer um emulador de figuras elaborado por Andy Ginger em http://andygiger.com/science/harmonograph/index.html.
Faço apenas uma advertência: construir e brincar com um harmonógrafo é uma experiência fascinante, mas altamente consumidora de tempo! Pois sempre sucumbimos à tentação de fazer “só mais uma” figura….
Abaixo apresento um pequeno vídeo do Harmonógrafo que construí. Gerou muita diversão e insights,